Le direzioni del cambiamento: L'insegnamento della Matematica dopo le riforme

COSA POSSIAMO IMPARARE DA UN CONFRONTO INTERNAZIONALE SULL'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA NELLE SCUOLE SECONDARIE

di Vinicio Villani

Relazione tenuta il 19.4.2002

AVVERTENZA IMPORTANTE.

In una relazione di 45 minuti non è possibile entrare in troppi dettagli. Quindi i dati che fornirò nel corso della relazione, pur essendo a mio avviso sostanzialmente corretti, aggiornati e significativi, dovrebbero essere completati e accompagnati da adeguate precisazioni e commenti.

Tanto per fare un esempio banale: tra breve parlerò dell'età di fine scuola secondaria - accesso all'università in vari paesi. Ad una lettura superficiale questo dato può sembrare certo e non ambiguo. Invece nella realtà le cose possono essere più o meno diverse da paese a paese, a causa di vari fattori, quali la flessibilità nell'età di ingresso alla scuola elementare (prevista in alcuni paesi), l'incidenza di eventuali ripetenze (assai diversa da paese a paese), l'esistenza di percentuali più o meno elevate di studenti che alternano nella scuola secondaria lo studio (a tempo parziale) con attività lavorative, ecc.

A maggior ragione, andrebbero contestualizzate con la massima cura affermazioni qualitative, per esempio sull'impostazione dell'insegnamento di questo o quell'argomento, sulle modalità di valutazione, ecc.

Quindi raccomando vivamente di non citare i dati qui riportati senza risalire alle fonti originali (purtroppo non tutte facilmente accessibili), indicate nella bibliografia posta alla fine della presente relazione.

 

1. ASPETTI STRUTTURALI GENERALI

Per sostenere autorevolmente la validità di una proposta di riforma (non solo in ambito scolastico) i proponenti amano portare ad esempio la soluzione adottata da questo o quel paese assunto come ``modello'' per i più svariati motivi: ruolo leader per la prosperità economica, per la tecnologia, per l'efficienza delle strutture, per le lunghe tradizioni democratiche, per la capacità di innovazione, per la storica affinità col nostro sistema scolastico, per i successi riportati nei più recenti confronti internazionali (dal TIMSS alle Olimpiadi Matematiche,al progetto P.I.S.A., ...).

In questa esposizione mi riferirò ai principali paesi europei (aderenti all'Unione Europea e non) nonché agli USA e al Giappone.

La tesi che intendo sostenere nella prima parte di questa relazione è:

NON ESISTE UNANIMITA' NE' CONCORDANZA SU ALCUNO DEGLI ASPETTI STRUTTURALI QUALIFICANTI DEI SISTEMI SCOLASTICI DEI PAESI SOPRA MENZIONATI. IN ALTRI TERMINI, MEDIANTE CONFRONTI INTERNAZIONALI FRAMMENTARI E DECONTESTUALIZZATI SI PUO' DOCUMENTARE ``TUTTO'' E ``IL CONTRARIO DI TUTTO''.

Ecco qualche esempio.

1.1. Articolazione della scolarità preuniversitaria:

bipartita: Danimarca, Finlandia, Svezia,

tripartita: Italia, Francia, Germania, Inghilterra, Olanda, Spagna, Giappone, Russia

1.2. Età di inizio scolarità obbligatoria:

a 4 anni: Olanda

a 5 anni: Inghilterra, Irlanda

a 6 anni: Italia, Belgio, Francia, Germania, Spagna, Giappone

a 7 anni: Danimarca, Finlandia, Svezia, Russia

1.3. Età della prima differenziazione

verso gli 11 anni: Germania, Inghilterra

verso i 12 anni: Olanda, Giappone

verso i 14 anni: Italia, Grecia

verso i 16 anni: Danimarca, Svezia

1.4. Età di fine scolarità obbligatoria a tempo pieno:

a 15 anni: Italia, Grecia

a 16 anni: Danimarca, Francia, Germania, Olanda, Inghilterra, Spagna

a 18 anni}: Belgio, de facto anche Giappone dove l'obbligo termina a 16 anni, ma ben il 94 % dei sedicenni prosegue gli studi fino al termine della scuola secondaria.

1.5. Età di fine scuola secondaria - accesso all'università:

a 17 anni: Irlanda, Russia

a 18 anni: Belgio, Inghilterra, Francia, Olanda, Spagna, Ungheria, U.S.A., Giappone

a 19 anni: Italia, Germania

1.6. Programmi della scuola secondaria superiore decisi a livello:

nazionale: Italia, Francia, Russia, Inghilterra (fino a 16 anni)

regionale: Belgio (su base linguistica), Germania (LŠ nder), Svizzera (Cantoni)

discrezionale: Inghilterra (tra 16 e 18 anni)

1.7. Prove d'esame fra i 14 e i 16 anni (licenza media) gestite:

localmente: Italia (a 14 anni)

a livello regionale: Germania (età variabile)

a livello nazionale: Inghilterra, Russia (a 15 anni)

non previste per la matematica: Olanda

non previste in assoluto: Spagna.

1.8. Prove d'esame al momento del passaggio scuola secondaria-università:

Solo prove in uscita dalla sc. sec. sup.}: Italia e Germania (salvo prove di ammiss. a poche facoltà), Olanda (salvo esami integrativi se gli indirizzi sec. seguiti non sono congruenti con le facoltà scelte).

Solo prove di ammissione all'università: Belgio, Grecia, Spagna

Prove d'esame sia in uscita, sia per l'ammissione (in certi casi diversificate sulla base dei curricoli preuniversitari): Inghilterra, Ungheria, Russia

Commento.

In tutti i paesi considerati, ad eccezione dell'ITALIA, per le prove d'esame aventi valore legale (per es. l'esame di Stato a conclusione della scuola secondaria) sono previste modalità serie di controllo esterno.

In Italia, la recente decisione ministeriale di utilizzare commissioni esclusivamente interne (salvo il presidente) per gli esami di Stato rischia di avere effetti deleteri per la confrontabilità dei titoli e dei punteggi attribuiti ai candidati di scuole diverse, danneggiando proprio gli allievi delle scuole più serie.

2. POSIZIONE DELLA MATEMATICA NEL CURRICULUM (SC. SEC. SUP.)

2.1. Obbligo della Matematica per tutti (negli indirizzi che danno accesso all'università):

fino alla fine della scuola secondaria superiore: Francia, Olanda

in qualche indirizzo termina prima della fine della scuola sec. sup}: Italia, Inghilterra

in qualche indirizzo termina prima della fine della scolarità obbligatoria:} U.S.A.

2.2. Presenza della matematica nelle prove d'esame al termine della sc. sec. sup. (SEGUONO ESEMPI)

Solo in certi indirizzi e in certi anni: Italia

In tutti gli indirizzi e anni: Francia, Olanda

A scelta discrezionale individuale: Inghilterra, Svezia, U.S.A.

2.3. Numero massimo di ore dedicate alla matematica nell'ultimo anno della scuola secondaria superiore, sul totale teorico delle ore di scolarità

Grecia 158 su 788

Italia 167 su 916

Francia 210 su 1007

Inghilterra 380 su 950.

3. ASPETTI MATEMATICI SPECIFICI SUI QUALI SUSSISTONO FORTI DIVERSITA' DI IMPOSTAZIONE FRA I PAESI CONSIDERATI

3.1. La Geometria: La tradizionale geometria euclidea è quasi scomparsa (quella del piano sopravvive in Italia e in Grecia); la geometria delle trasformazioni compare qua e là; viene invece affrontata la geometria analitica, talora anche con linguaggio vettoriale (Francia).

3.2. L'uso delle calcolatrici e dei calcolatori: in qualche paese, come l'Olanda, l'uso delle calcolatrici grafiche è obbligatorio fin dai 12 anni. In altri paesi le calcolatrici sono tollerate (Italia); in altri ancora sono vietate (Grecia).

3.3. Il ruolo delle dimostrazioni. Le dimostrazioni inquadrate in un ben definito ambito assiomatico sono scomparse quasi ovunque (vedi in particolare il caso dell'Inghilterra). Perfino in Francia i programmi vietano espressamente di parlare delle strutture assiomatiche.

3.4. L'insegnamento per problemi e le modellizzazioni matematiche. Nominalmente sono presenti nei programmi di quasi tutti i paesi; di fatto quasi assenti quasi ovunque.(In Russia per concentrarsi sulle strutture interne della matematica. Altrove per mancanza di preparazione e motivazione dei docenti. Buoni esempi di modellizzazione in Olanda e in Danimarca.

3.5. Le tipologie delle prove di verifica: Prevalgono nettamente le prove scritte, sotto forma di test o di esercizi o problemi più o meno tradizionali. In qualche caso sono previsti lavori di approfondimento dei singoli studenti o a gruppi.

4. RIFLESSIONI SUI DATI PRECEDENTI

L'insoddisfazione per l'esistente è documentata dalle riforme strutturali e curricolari in atto o in progetto in quasi tutti i paesi. Il pendolo oscilla senza che si riesca ad intravvedere una tendenza univoca. C'è per es. chi introduce un curriculum nazionale (Inghilterra), e chi lo rende più flessibile (Italia)

Da quanto detto finora consegue:

NON E' VERO CHE OGNI ``RIFORMA'' RAPPRESENTI UN ``PROGRESSO''.

NON ESISTE UN SISTEMA SCOLASTICO OTTIMALE, ANZI NON ESISTE UN'UNICA SCALA DI VALORI PER ORDINARE GERARCHICAMENTE I DIVERSI SISTEMI SCOLASTICI.

SE NON SI VUOLE PARLARE A VANVERA, OCCORRE SPECIFICARE A MONTE GLI OBIETTIVI CHE SI CONSIDERANO PRIORITARI PER L'ISTRUZIONE E LA FORMAZIONE CULTURALE DEI GIOVANI (O PER DETERMINATE FASCE DI GIOVANI).

Per esempio: formazione per quanto possibile unitaria per tutti, o formazione specialistica con punte di alta qualità per ristrette élites di studenti.

Comunque sia, non sembra il caso di sopravvalutare l'importanza delle riforme strutturali e curricolari, che spesso sono più di facciata che di sostanza. Le lamentele di chi opera nella scuola sono più o meno le stesse, in tutti i paesi.

Ecco qualche citazione (sfido i presenti a individuare i paesi ai quali queste critiche si riferiscono).

4.1. Troppi allievi [di liceo] e perfino studenti dei corsi universitari scientifici (ivi inclusi quelli destinati alla formazione dei futuri docenti di matematica)non capiscono né il senso degli enti matematici, né i fondamenti del modo di procedere matematico. Viene mal percepita la differenza fra ``definizione'' e ``proprietà'', o fra ``dimostrazione'' ed ``esibizione di un esempio''.

4.2. Molti docenti di scuola secondaria insegnano matematica ma sono laureati in scienze, ingegneria, ecc., per cui le loro competenze matematiche sono carenti.

4.3. Gli editori pubblicano libri che non sono in linea con l'impostazione ideale della matematica (prevista dai programmi) bensì sulla base dei fattori che ne favoriscono la vendita. Quindi molti libri, pur essendo formalmente adattati ai nuovi programmi, presentano solo attività tradizionali (esercizi con carta e penna, di tipo algoritmico, con uso limitato delle nuove tecnologie,...)

4.4. I docenti di ciascun livello (sec. sup, università) lamentano che i nuovi studenti provengono dal livello precedente con conoscenze e abilità inferiori a quelle del passato.

4.5. I salari degli insegnanti non sono competitivi con quelli in altri settori (privati).

4.6. I programmi nazionali di matematica (per le scuole sec. sup.) elencano tutta una serie di obiettivi dell'insegnamento della matematica, ma i maggiori sforzi sono volti al conseguimento del solo primo obiettivo.... (lascio a voi indovinare qual è tale primo obiettivo....).

4.7. Si incontrano specifiche difficoltà relative alla geometria dello spazio. L'argomento è alquanto atipico e isolato rispetto al resto del curricolo, quindi viene spesso condensato in poche lezioni.

4.8. Quanto alle dotazioni di calcolatori, ci sono enormi disparità fra le scuole.

4.9. I fautori dei test standardizzati spesso ne riconoscono i limiti, ma affermano che essi rappresentano il migliore strumento di misura a disposizione. Le scuole più innovative usano metodi di valutazione alternativi più accurati, prendendo in considerazione il modo di scrivere, le esposizioni orali, gli esperimenti nell'ambito delle scienze, i metodi per affrontare problemi del mondo reale,...

Fonti delle citazioni: 1. Saggi francesi; 2. Spagna; 3. Spagna; 4. Svezia; 5. Finlandia; 6. Russia; 7. Germania (in controtendenza l'Olanda); 8. Ungheria; 9. U.S.A.

5. GUARDIAMO ALLE ESPERIENZE DEL PASSATO PER PROGRAMMARE MEGLIO IL FUTURO

In questo paragrafo propongo alcune mie riflessioni personali sulle ``lezioni'' che si possono trarre dall'esperienza internazionale. Credo siano ampiamente condivise da parte degli ``esperti'' di tutti i paesi, ma purtroppo largamente disattese nella realtà scolastica.

5.1. La matematica insegnata oggi per i futuri cittadini del domani deve essere diversa da quella del passato, in quanto a seguito dell'avvento degli elaboratori elettronici servono meno abilità per calcoli ripetitivi e più progettualità e capacità di modellizzazione.

5.2. I programmi sono diventati troppo vasti, eclettici e dispersivi, a scapito di una preparazione approfondita degli allievi.

5.3. La frammentazione (memoria a breve termine, insegnamento per moduliindipendenti, sistema dei crediti) è deleteria in matematica.

5.4. Ogni riforma troppo drastica scatena una reazione uguale e contraria. Esempi:

Esperienza francese e U.S.A su New Math - Back to Basics,

Esperienza ungherese con la probabilità, Esperienza olandese della matematica per problemi contrapposta a quella per teorie.

5.5.E' opportuno disporre di commissioni ``permanenti'' che suggeriscano aggiustamenti frequenti ma circoscritti, nei programmi e nella tipologia delle prove (vedi esempi di Germania e Giappone).

5.6. Perché una riforma abbia una sia pur minima prospettiva di successo occorre il consenso di una massa critica di docenti e un'adeguata preparazione - qualificazione.

5.7. E' più facile introdurre nuovi contenuti che nuovi metodi (vedi per esempio i rapporti fra matematica tradizionale e uso di tecnologie informatiche).

5.8. Quanto più ampia è la discrezionalità nel gestire i programmi, tanto più stringenti devono essere i controlli di qualità da parte di organismi esterni per dare valore legale ai titoli. In proposito alla fine del punto 1 avevo già segnalato l'anomalia italiana. Da notare in proposito che un importante documento della Confindustria (OECD Youth Employment Conf. 2000,pag. 10) caldeggia l'istituzione di un sistema nazionale di standard e un ente indipendente per la valutazione. In realtà, per es. le ``terze prove'' all'esame di Stato sono attualmente monitorate solo a posteriori e con finalità di sola documentazione dal CEDE.

5.9. Nelle prove scritte le ``consegne'' devono essere ben chiare (per esempio nelle prove d'esame francesi un esplicito ``contratto didattico" riserva un certo numero di punti per una presentazione ordinata e chiara degli elaborati). Ma esercizi troppo guidati impediscono di valutare le capacità progettuali autonome degli allievi.

5.10. Punto cruciale è la preparazione degli insegnanti. Il recente avvio delle SSIS in Italia può essere un buon punto di partenza, specie grazie all'intreccio fra lezioni, attività di laboratorio e tirocinio.

6. ESEMPI DI PROPOSTE ELABORATE DALL'ED. COMMITTEE (della EUROP.MATH.SOC.)

PROGETTO EUROPEO ``REFERENCE LEVELS''RIGUARDANTE ALLIEVI DI CIRCA 16 ANNI

Per maggiori informazioni, consultare il sito della E.M.S.
http://www.emis.de/projects/Ref/

Il gruppo di lavoro ha preso in esame essenzialmente tre tipi di destinatari dell'insegnamento della matematica:

La generalità dei futuri ``cittadini informati''

Coloro che dovranno utilizzare una matematica di tipo strumentale nel prosieguo dei loro studi

Coloro che si iscriveranno a corsi universitari di matematica avanzata.

Uno dei documenti elaborati contiene una serie di esempi di semplici quesiti non tradizionali, che potrebbero e dovrebbero essere alla portata di studenti sedicenni, ma che purtroppo sono da intendersi come un'utopia al giorno d'oggi e come una sfida per il futuro.

Ne cito alcuni. non già per trasferirli di peso nel proprio insegnamento,bensì come spunti di riflessione su come poter attuare una ``problematizzazione'' più varia:

EMS RQ 003. (Spago avvolto intorno ad un cilindro). La soluzione implica la capacità di immaginare il cilindro ``srotolato'' e ricondursi così ad un problema di geometria piana.

EMS RQ 006. (Probabilità )La difficoltà sta in un'adeguata formalizzazione della situazione, visto che la simmetria del risultato non è intuitivamente evidente.

EMS RQ 023. (Correre 1 km in 1 minuto). Quesito molto semplice ma atipico, in quanto la risposta presuppone l'utilizzo di conoscenze extrascolastiche, mentre la scuola tradizionale è autoreferenziale, come se il mondo esterno non esistesse.

EMS RQ 029 (Situazione aperta, da investigare).Interessante perché il tipo di risposta non è predeterminato. Da notare che, nonostante la sua atipicità questo quesito è stato proposto ad un esame nazionale (svedese).

EMS RQ 039 (Sezione di un cubo). Geometria tridimensionale. La difficoltà sta nel risalire da ciò che si ``vede'' nella figura alle dimensioni reali della sezione.

EMS RQ 063 (Grafico ingannevole. Testo in francese, perché nel testo inglese ésaltata una riga). Capacità di accorgersi dell'inganno.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

[1] REFERENCE LEVELS IN SCHOOL MATHEMATICS IN EUROPE AT AGE 16.Progetto Europeo coordinato per conto dell'Education Committee della European Mathematical Society da Antoine Bodin e Vinicio Villani.

Tutta la documentazione è reperibile in rete all'indirizzo: http://www.emis.de/projects/Ref/

[2] EVAPM. Si tratta di una serie di pubblicazioni francesi curate dall'APMEP (Association des Professeurs de Mathèmatiques de l'Enseignement Public), contenenti molti quesiti e dati statistici interessanti sulla valutazione in matematica, nelle scuole francesi.

[3] Sanders, Buchberger, Greaves, Kàllos. Teacher Education in Europe, (OsnabrŸ ck, 1996)

[4] Varie pubblicazioni della Commissione Europea , Dir.Gen. XXII, Bruxelles (progetti Socrates), ed in particolare:

[4.1] Quality and Assessment in Secondary Education across the EU/EEA.

[4.2] A comparison of the Intended Curriculum in Upper Secondary General Education

[4.3] Examinations and Assessment at the End of Upper Secondary Education

[5] G. Howson. National Curricula in Mathematics. The Math. Association (London, 1991)

[6] CEDE. Le competenze matematiche nelle terze prove. (F. Angeli, 2001).