Premio Abel 2013 a Pierre Deligne. Un suo profilo

Come avevamo scritto, lo scorso 20 marzo è stato assegnato al matematico Pierre Deligne il Premio Abel. Nell'articolo che segue, Francesco Baldassarri, professore presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Padova, ripercorre la carriera e i risultati del matematico belga.

 

L'Accademia Norvegese di Scienze Lettere ed Arti ha deciso di attribuire il Premio Abel per il 2013 a Pierre Deligne, membro emerito dell'Institute for Advanced Studies di Princeton, per i suoi fondamentali contributi alla geometria algebrica, ed il loro impatto innovativo sulla teoria dei numeri, sulla teoria delle rappresentazioni e in altri campi collegati.

Il premio Abel ricorda il sommo geometra norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829) che nella sua breve vita rivoluzionò lo studio delle funzioni algebriche. Il premio si affianca alla medaglia Fields, vinta anch'essa da Pierre Deligne nel 1978, la quale per statuto non viene attribuita a chi già abbia compiuto il 40-esimo anno di età, e se ne distingue in quanto riconoscimento al complesso della carriera, all'impatto ed all'influenza dei suoi laureati. Istituito nel 2002, bicentenario della nascita di Abel, il premio fu conferito la prima volta nel 2003 a Jean-Pierre Serre, e poi a Sir Michael Atiyah, a Isadore Singer, a Mikhail Gromov, John Tate, in un susseguirsi di figure determinanti della matematica degli ultimi due secoli.

Deligne fu allievo e figlio spirituale del grande veggente Alexander Grothendieck, che tra gli anni '50 e '60 del XXo secolo aveva rifondato l'intera geometria algebrica sul metodo funtoriale.

Pierre Deligne nacque nel 1944 vicino a Bruxelles e, dopo gli studi universitari in quella città, si recò a Parigi, per un anno all'É.N.S.1 e poi presso l'I.H.É.S.2 Là si formò sulla fine degli anni '60 nei mitici Séminaires de Géométrie Algébrique du Bois Marie animati da Grothendieck, e frequentati da Michael Artin, Berthelot, Illusie, Raynaud, Verdier, e molti altri personaggi che dovevano lasciare una traccia profonda nella geometria algebrica e aritmetica.

I primi contributi fondamentali di Deligne, ottenuti durante il suo Doctorat d'État a Orsay (1972), riguardano la Teoria di Hodge, cioè l'esistenza di una filtrazione canonica nella coomologia di De Rham delle varietà algebriche complesse, legata ai poli delle forme differenziali rappresentative delle varie classi di coomologia. I tre articoli Théorie de Hodge I, II, III, il primo dei quali presentato all'I.C.M.3 del 1970, tenutosi a Nizza, e i successivi pubblicati presso la sua alma mater I.H.É.S., generalizzano la teoria di Hodge tramite la nuova nozione di struttura di Hodge mista, prima alle varietà aperte, e poi alle varietà singolari, con portentosi metodi di risoluzione delle singolarità detti iper-ricoprimenti. La filtrazione di Hodge incarna in coomologia di De Rham lo yoga dei pesi concepito da Grothendieck negli anni '60.

Il risultato più noto di Deligne è la sua prodigiosa dimostrazione dell'ultima, e più profonda, delle congetture di Weil4, la cosiddetta Ipotesi di Riemann per le varietà su corpi finiti. Queste congetture, formulate nel 1948, stabilivano un legame sorprendente tra il numero N(n) di soluzioni approssimate, modulo una potenza pn di un numero primo p, per ogni n, di equazioni algebriche, e la forma della varietà topologica V descritta dalle stesse equazioni. L'ipotesi di Riemann, poi, suggeriva come i valori assoluti degli zeri e i poli complessi della funzione Z(V,t) generatrice dei suddetti numeri N(n), che Dwork5 aveva mostrato essere razionale, dovessero essere legati ai numeri di Betti di V. Deligne nei due magistrali articoli La conjecture de Weil I (1974) e II (1978), dimostra queste congetture utilizzando, per un numero primo l diverso da p, la coomologia l-adica, appena inventata dal suo maestro Grothendieck per superare la difficoltà derivante dal fatto che la struttura delle varietà su un corpo finito non permette di applicare i classici metodi di topologia e geometria differenziale o analitica reali o complessi. In questi due lavori, gemme insuperate, e forse insuperabili, di stile ed eleganza, Deligne dimostra come la coomologia l-adica abbia tutta la flessibilità delle classiche coomologie di Betti e di De Rham, e possa essere utilizzata con la stessa disinvoltura per produrre formule della traccia, classi di cicli, stime di valori propri di morfismi. In particolare, nel secondo dei suddetti lavori, Deligne sviluppa la filosofia dei pesi in coomologia l-adica, ove essi si presentano come valori assoluti complessi di autovalori dell'automorfismo di Frobenius, e indica una rispondenza generale tra l'aritmetica e la geometria analitica complessa. Conseguenze visibili di questi risultati teorici sono le stime archimedee ottimali per somme trigonometriche e per somme esponenziali su corpi finiti (ad esempio, somme di Kloosterman generalizzate) e la congettura di Ramanujan-Petersson sulla stima del termine p-esimo nella espansione di Fourier di una forma modulare cuspidale.

Vastissimo è poi il contributo di Deligne al concetto di gruppo fondamentale, da lui generalizzato tramite il formalismo delle categorie tannakiane, in molteplici contesti: topologico, algebrico étale, De Rham, motivico. Una molteplicità di problemi matematici si riducono e si chiariscono tramite la teoria delle rappresentazioni del gruppo fondamentale relativo al dato contesto. Sorprendente è in particolare l'analogia di risultati tra la teoria delle somme di caratteri su corpi finiti e la teoria delle equazioni differenziali lineari (somme di Kloosterman e equazioni differenziali di Bessel; somme di Jacobi e funzioni ipergeometriche;...), analogie già note a Dwork e che si spiegano, come poi illustrato pienamente da Nick Katz6, tramite un isomorfismo di gruppi fondamentali. Con ciò, Deligne ritorna d'altra parte ad una sua passione di gioventù, il 21-esimo problema di Hilbert, oggetto del memorabile libretto Équations différentielles à points singuliers réguliers7 del 1970. In esso Deligne chiarisce come la corrispondenza di Riemann-Hilbert, tra fibrati a connessione integrabile e sistemi locali su varietà algebriche, sia naturalmente limitata a connessioni regolari all'infinito. Questa teoria sarà poi ripresa e generalizzata da Deligne, insieme a Beilinson e Bernstein, nel concetto di fascio perverso8, analogo topologico dei D-moduli, con cui la coomologia di intersezione di Goresky e MacPherson si interpreta come coomologia di moduli differenziali. Menzioniamo qui gli affascinanti, più recenti, risultati di Deligne sulle singolarità irregolari dei sistemi sovradeterminati alle derivate parziali e la loro analogia con la teoria del conduttore di Swan per fasci l-adici (o rappresentazioni di Galois) selvaggiamente ramificati.

Il parallelismo tra le varie teorie coomologiche della geometria algebrica, ed in particolare tra la coomologia l-adica e la teoria di Hodge, è segno tangibile di una unità presente ad un livello superiore, pre-coomologico. È la manifestazione dell'esistenza della categoria dei motivi congetturati da Grothendieck come esseri intermedi tra un oggetto geometrico e il complesso di tutte le sue proprietà coomologiche. Deligne reca un enorme contributo anche a questo aspetto filosofico della geometria, interpretando il fiume di lavoro di tessitura e sartoria, in seta e oro, prodotto da Goro Shimura in teoria aritmetica delle forme modulari, automorfe e per famiglie di varietà abeliane, nella nuova nozione di varietà di Shimura, che ci si aspetta essere in modo naturale uno spazio di moduli di motivi. Una serie di contributi fondamentali su questo tema caratterizza l'attività di Deligne negli anni '70 e '80.

La congettura di Deligne sulla categoria dei motivi di Tate misti su Z (cioè che essa è generata dal gruppo fondamentale motivico della retta proiettiva meno tre punti) è stata recentemente dimostrata da F. Brown, così come la congettura di Hoffman (che gli è intimamente legata) sulle multizeta. È il coronamento di un lunghissimo lavoro (al quale numerosi matematici hanno partecipato: Goncharov, Voevodsky, ....) iniziato proprio dal magnifico articolo di Deligne sul gruppo fondamentale della retta proiettiva meno tre punti.9

Non possiamo qui intrattenerci, per la troppa difficoltà tecnica, su molti altri oggetti matematici a cui è legato il nome di Deligne: campi di Deligne-Mumford, trasformazione di Fourier-Deligne, varietà di Deligne-Lusztig...

Ma oggi, a cosa si dedica Deligne? All'estensore di questo articolo, piacerebbe poter seguire pienamente l'attività odierna di Deligne. Ma è veramente un auspicio senza speranza: Deligne continua a produrre, ad accendere fari su aspetti della matematica non ancora chiariti e troppo varii per essere tutti compresi da una sola persona. Non sono però da perdere le lezioni che sta tenendo in questi giorni (tutti i giovedí dal 14 marzo al 18 aprile 2013) a I.H.É.S. su Sistemi l-adici su varietà su un corpo finito10.

Facciamo qui seguire l'elenco delle principali tappe della carriera scientifica di Pierre Deligne, e delle maggiori onorificenze attribuitegli fino ad oggi.

Université Libre de Bruxelles, Ph.D. 1968; Université Paris-Sud 11, Ph.D. 1972; Fonds National de la Recherche Scientifique, Belgium, Junior Scientist 1967–68; Institut des Hautes Études Scientifiques, Visiting Member 1968–70, Permanent Member 1970–84; Institute for Advanced Study, Member 1972– 73 and 1977, Visitor 1981, Professor 1984–2007, Professor Emeritus 2008–; Académie des Sciences, Institut de France, Foreign Member; Académie Royale de Belgique, Foreign Member; Accademia dei Lincei, Foreign Member; American Academy of Arts and Sciences, Foreign Member; American Philosophical Society, Member; London Mathematical Society, Honorary Member; Moscow Mathematical Society, Honorary Member; National Academy of Sciences, Foreign Member; Royal Swedish Academy of Sciences, Foreign Member; Académie Royale de Belgique, François Deruyts Prize 1974; Académie des Sciences, Institut de France, Henri Poincaré Medal 1974; Fonds National de la Recherche Scientifique, Belgium, A. De Leeuw-Damry-Bourlart Prize 1975; Fields Medal 1978; Crafoord Prize 1988; Balzan Prize 2004; Wolf Foundation Prize in Mathematics 2008.

 

Note

1. École Normale Supérieure

2. Institut des Hautes Études Scientifiques International

3. Congress of Mathematicians, annuale manifestazione che attribuisce la medaglia Fields.

4. André Weil (1996-98) grande geometra, fratello di Simone Weil.

5. Bernard Dwork (1923-98), che dimostrò le prime tre Congetture di Weil.

6. In Exponential Sums and Differential Equations, Princeton University Press (1990).

7. Springer Lecture Notes N. 163.

8. In Faisceaux pervers. Astérisque 100 (1983).

9. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points in: Galois Groups over Q. MSRI Publ. N. 16 (Springer- Verlag 1989) pp. 72–297.

10. Le lezioni sono accessibili online presso il sito web di I.H.É.S.

http://www.ihes.fr/~abbes/CAGA/deligne.html