Se lo dice il "Corriere"...

Sul Corriere della Sera di mercoledì 8 maggio, è comparsa una notizia che, se confermata, rappresenterebbe una vera conquista per il mondo scientifico: un matematico inglese, Martin Dunwoody dell'Università di Southampton, avrebbe dimostrato la famosa congettura di Poincaré.

Oltretutto -cosa che colpisce maggiormente l'immaginazione e che forse è all'origine del notevole rilievo dato alla notizia- a questo risultato è connesso il premio di un milione di dollari, elargito da una Fondazione americana a chi per primo risolve il problema di questa, come di altre sei congetture definite "i problemi del nuovo millennio".
Per la verità occorre che la dimostrazione sia verificata e approvata da un apposito comitato di esperti (come sempre avviene nel caso delle pubblicazioni matematiche) e, oltre a ciò, che rimanga a disposizione della comunità matematica, per osservazioni e critiche, almeno due anni. Se passa questo vaglio, l'autore avrà il premio e il risultato entrerà a far parte stabile del patrimonio matematico, colmando una lacuna che data da lungo tempo. Ma intanto la sola notizia di un possibile esito positivo e di un compenso tanto consistente sembra sollevare l'interesse del grande pubblico e quindi della stampa. Il mondo matematico, se non scettico, aspetta con maggiore disincanto.

Jules Henri Poincaré

 

Vale la pena di ricordare in cosa consista la congettura di Poincaré -formulata nel 1904- che si inserisce nelle ricerche di un settore d'indagine che il famoso matematico e fisico francese aveva contribuito a individuare e che diventerà presto uno dei campi di maggiore interesse matematico del nuovo secolo: la topologia algebrica.
Il contesto è quello delle varietà n-dimensionali, vale a dire degli spazi topologici che in ogni punto hanno un intorno omeomorfo a un disco aperto dello spazio euclideo Rn e che per di più sono chiuse, cioè compatte e senza bordo. Il problema è quello della loro classificazione a meno di omeomorfismi, vale a dire nel senso appropriato agli spazi topologici: due varietà sono identificate quando esiste una corrispondenza biunivoca e bicontinua che trasforma l'una nell'altra
(e ci si può sempre riferire a varietà connesse).
E noto che, per n = 1, l'unica varietà chiusa è la sfera S1, mentre per n = 2 ne esistono infinite: sono esattamente "sfere con p manici". Fra queste, la sfera S2 è l'unica ad essere semplicemente connessa, cioè tale che ogni curva chiusa e continua tracciata sulla superficie la disconnetta. In termini più intuitivi questo significa che la curva si può deformare con continuità ad un punto o, alternativamente e con linguaggio algebrico, che il gruppo fondamentale della varietà è banale. Naturalmente l'unicità si intende "a meno di omeomorfismi".
La congettura di Poincaré è l'analogo in dimensione tre di questa affermazione: a somiglianza di quello che avviene nel mondo 2-dimensionale, è vero che la sfera S3 è l'unica varietà chiusa 3-dimensionale il cui gruppo fondamentale è banale? Questo è il primo problema relativo alla classificazione delle varietà chiuse 3-dimensionali, che rimane ampiamente non risolto e alla cui soluzione contribuirebbe ampiamente.
Per le dimensioni superiori a tre, in qualche modo le informazioni sono più chiare, anche se il problema richiede una migliore formulazione perché il gruppo fondamentale non è sufficiente a caratterizzare le varietà chiuse, semplicemente connesse. Occorre che altri invarianti algebrici, di tipo omologico, siano uguali.
Se è soddisfatta questa condizione, per n >=7 la congettura di Poincarè è stata dimostrata da Smale nei primi anni '60, per n >=5 da Zeeman poco dopo, mentre il difficile caso n = 4 ha dovuto attendere la dimostrazione di Freedman degli anni '80.

Ora potremmo essere a una svolta. Nell'aprile del 2002 Martin Dunwoody ha messo in rete, nella propria pagina personale, un articolo contenente una prospective proof, secondo le sue stesse parole, della congettura di Poincaré, nel fondamentale (e originario) caso n = 3. Una dimostrazione abbastanza breve che si basa su un algoritmo adatto al riconoscimento delle sfere 3-dimensionali, ma che fin dal titolo interrogativo (A proof of the Poincaré conjecture?) e dal primo commento, relativo a una insufficienza segnalata da un collega, richiede ulteriori indagini. Un tentativo che comunque, se dimostrato, ricondurrebbe la famosa congettura di Poincaré ad un enunciato di pura combinatoria algebrica.

Due commenti. Primo: la vicenda sembra perfettamente in linea con le migliori ricerche, nelle quali un primo tentativo viene sottoposto al mondo matematico, modificato in conseguenza di questa esposizione e magari adattato fino a giungere a un risultato significativo. Il progresso matematico consiste spesso di simili, estemporanee collaborazioni, e va dato merito all'autore di essere "uscito allo scoperto" su un problema tanto difficile, qualunque ne sia l'esito. L'importanza delle congetture spesso risiede in tutto il lavoro che stimolano.
Il secondo commento riguarda la "ansia da congettura" che promana dal premio di un milione di dollari e dalla scelta di sette "congetture del millennio". La ricerca matematica vive di congetture: cos'altro si può affrontare se non quello che si ritiene vero? Alcune di queste hanno maggiore importanza per un dato settore o semplicemente sono difficili e resistono più a lungo di altre. Creano una sorta di mistero, colpiscono l'immaginazione del pubblico e qualche volta l'ostinazione dei ricercatori. Ma, per quanto importanti, sono la punta dell'iceberg rispetto alla ricerca matematica corrente e il volerle sottolineare con un premio in denaro così consistente sembra indicare che sono le uniche degne di essere perseguite. Il resto scompare. Per questo, il premio e la conseguente ampia pubblicizzazione non recano un buon servizio alla Matematica ed è legittimo pensare che forse tutti quei soldi potrebbero essere utilizzati un po' meglio.