Per una storia dei giochi: Bruno De Finetti

RIFLESSIONI SU UNA GARA MATEMATICA

1. PREMESSE
La prima gara matematica indetta a Roma (dall'Istituto matematico dell'Università congiuntamente alla sezione "Mathesis"), nel quadro dell'iniziativa del CONARM (Comitato nazionale ricercatori matematici) promossa a seguito di precedenti esperimenti all'Università di Trieste (e in conformità a quanto da tempo praticato in diversi paesi), ha avuto luogo il 27 settembre 1962. Aperta ai giovani dai 15 a 20 anni non iscritti all'Università, ebbe 55 iscrizioni; i presenti furono 40 (di cui 8 ragazze).
Dico subito che non intendo affatto lamentarmi del livello generale di preparazione o capacità dei concorrenti: la maggior parte si è cimentata in modo soddisfacente almeno su alcuni problemi (come dicono le avvertenze, non c'era obbligo di affrontarli tutti), e parecchi hanno avuti spunti felici riguardo a qualche aspetto delicato o complementare. Il fatto che intendo segnalare è il pregiudizio che la "scolasticità" degli insegnamenti matematici, quali di fatto sono nei programmi e nella realtà , porta al valore formativo educativo propulsivo che dovrebbero avere per l'intelligenza e la fantasia dei giovani. La separazione tra matematica e i concetti e problemi pratici da una parte, e addirittura la segmentazione della matematica in compartimenti stagni dall'altra, fanno sì che in ogni problema ove gioverebbe usare, ben fusi insieme, considerazioni intuitive o di buon senso e strumenti o nozioni anche semplici presi un po' qua e un po' là da geometria, aritmetica, algebra, calcolo numerico ecc., si veda che tali studi si intralciano o restano separati, ossia non sono stati assimilati come un tutto armonico e indivisibile. Inoltre il concetto della matematica e molti concetti della matematica sembrano legati alla rigidezza di visioni o di casi troppo particolari.


2. ALCUNE CONSTATAZIONI GENERALI.
Le constatazioni più sorprendenti si possono trarre dal primo problema (A), che era semplicissimo, addirittura banale, eppure rivelò tante cose. Intanto, che significhi dire che due rettangoli sono simili è cosa che molti dichiarano o rivelano di non sapere o non ricordare; per taluni sembra debbano essere omotetici (simili e similmente disposti), per altri tutti i rettangoli sono simili data l'uguaglianza degli angoli; uno esprime il dubbio che forse dovrebbe aversi anche proporzionalità dei lati. Ciò mostra quanto sia deleterio il criterio di presentare concetti generali come quello di similitudine riferendosi a un caso particolare come quello dei triangoli, inducendo a confonderlo con proprietà secondarie (l'uguaglianza degli angoli) con cui solo ivi casualmente coincide: buona parte delle "persone colte" potranno così non possedere mai il concetto di similitudine! Molti altri pervennero a determinare i lati come richiesto, ma si fermarono all'espressione ( 2 1/4, 1/ 2 1/4) senza pensare di indicarne la costruzione geometrica (tranne uno), o di rendersi conto (sia pure con verifiche sommarie) del valore numerico. Un collega mi disse che solo alle magistrali s'inculca la cura di precisare le conclusioni con approssimazioni numeriche, considerate invece con disdegno nell'empireo dei licei ( e non stento a crederlo!). C'è poi da notare come oltre metà (8 su 17 che impostarono il problema correttamente, e 10 su 17 che abbozzarono impostazioni errate o insufficienti), anziché scrivere subito direttamente le relazioni tra i lati indicandoli, ad esempio, con a e b, oppure x e y, si sono sentiti in dovere, avendo una figura, di indicare con maiuscole i vertici scrivendo poi molte relazioni inutili (per esempio, l'uguaglianza di lati opposti di un rettangolo) e dando forma inutilmente complicata a quelle utili. Così parecchi si perdono per sviste o ingarbugliandosi.
Analogo rilievo scaturisce dall'ultimo problema (F), dove, per non fare a memoria una prima ovvia considerazione ancora prima dell'impostazione in formule, parecchi commettono un errore di segno. Svista scusabilissima in sé; ma la possibilità di una svista del genere non sarebbe sorta se venisse inculcata la raccomandazione di individuare fin dall'inizio ciò che è essenziale e il modo in cui lo si possa scrivere subito nella forma più conveniente; e la presenza di tale svista avrebbe dovuto balzare agli occhi e condurre alla sua correzione se venisse inculcata l'abitudine a non fidarsi solo dei passaggetti eseguiti bensì a rendersi conto soprattutto della ragionevolezza del risultato. In questo caso era ovvio che la x doveva essere funzione crescente di r e R [e avrebbero potuto intuirlo anche i disgraziati che devono studiare formule il cui solo valore concettuale starebbe nel formare il senso di cosa sia una dipendenza funzionale, ma proprio di ciò non sentono neppur parlare].
Nello stesso spirito della scarsa propensione a rendersi conto del risultato in senso numerico, va segnalato come si riveli una scarsa propensione a ritenere che ciò che si domanda in un problema sia una disuguaglianza anziché un'uguaglianza. Parecchi ritennero di dover stabilire il numero massimo di frecce (nel problema C) anziché escludere semplicemente che potessero raggiungere 125, e qualcuno (nel problema D) pensava di dover mostrare che il limite indicato, 134.000, fosse esattamente il minimo per cui l'enunciato valeva. Sembra che nella scuola si trascuri di far sviluppare il senso dell'intelligente approssimazione, opportuna e sufficiente per ottenere con adeguata fatica una certa valutazione, e ci si limiti a parlare di procedimenti esatti anche se impossibili o pesanti da applicare praticamente.
E, sempre nello stesso spirito, sembra sia troppo poco incoraggiata e richiesta una certa abilità nel disegnare figure in modo chiaro e rispondente allo scopo, anche se approssimative e indicative, a mano libera (uno disse che non poteva proseguire perché non aveva il compasso; altri fecero figure troppo piccole o confuse per stabilire con certezza anche solo se il concetto di partenza era giusto). In tutti i sensi, tali fatti sembrano rivelare una carenza di quelle qualità di "accuratezza artigianale" che costituiscono un importante aiuto a conseguire chiarezza e ordine anche nel capire e nel ragionare. Temo che tutto ciò sia forse visto, da studenti ed insegnanti, con un certo ingiustificato e pregiudizievole altezzoso disdegno.
Altra circostanza sintomatica, le dichiarazioni di non poter risolvere dei problemi per mancanza, non già di conoscenze generiche effettivamente utili, ma di studi specifici "sulle corone circolari", "sulle quarte potenze", ecc., come se ogni figura o funzione o argomento di dettaglio non potesse venir affrontato che dopo aver imparato una speciale teoria o qualche artificio tecnico che lo riguardi.
In tal modo lo studio preclude anziché favorire l'esame intelligente dei problemi, e si spiega che i risultati migliori li abbia dati il problema (B) che visibilmente richiedeva che vi si riflettesse senza ausilio di strumenti didattici.


3. UN SUGGERIMENTO
Un collega ed amico cui comunicai i problemi proposti in questa gara mi scrisse facendo varie osservazioni, tra cui una che costituisce un suggerimento degno di essere preso in considerazione. Trascrivo il brano in questione.
"Sono sempre più convinto che queste gare siano utilissime. Non credi che potrebbero essere tali anche per i docenti delle scuole medie, che dovrebbero "leggere" in esse un indirizzo didattico? Non ho potuto fare a meno di ricordare, riflettendo su questo aspetto della questione, le prove di 'lezione' di concorsi a cattedre per le scuole medie. Credo di essermi spiegato, né vorrei tediarti con troppo lunghe e scontate considerazioni".
Figuriamoci se non sono d'accordo! Io ho fiducia nei giovani, e sfiducia nella scuola com'è attualmente intesa secondo ottuse e nefaste idee tradizionali. Occorre "scatenare l'intelligenza, non soffocarla", come ho detto in un articolo di questo titolo ( su "Mercurio", a. III, n. 9; settembre 1960) e ripetuto più e più volte, mentre "attualmente la scuola e la società in genere sembrano prefiggersi di debellare soffocare mortificare l'intelligenza", "stortura micidiale" cui "tutto l'atteggiamento verso i giovani e la loro educazione e istruzione appare ispirato", e che conduce tra l'altro "a conseguire il minimo risultato col massimo sforzo".
Di chi è la colpa? Dei programmi? Dei libri di testo? Degli insegnanti? Delle scuole che li preparano e dell'inesistenza di un insegnamento pedagogico e di un tirocinio didattico? Delle commissioni esaminatrici? Di tutto e di nessuno: è difficile uscire da un pantano di conformismo, cosicché né riforme di programmi né sforzi di docenti né criteri intelligenti di commissioni bastano a operare miracoli immediati. Però ogni sforzo giova, e anche la buona volontà di pochi arriverà a smuovere le cariatidi e rivivificare la scuola, perciò ogni azione sugli insegnanti - specie sui giovani e giovanissimi - per svegliarne l'intelligenza e suscitarne l'entusiasmo, costituisce una leva potente.
In questo spirito, gare del genere possono certamente costituire un contributo efficace ed un'occasione per infondere coraggio, coraggio, coraggio.


Problema A.
Un foglio rettangolare ha area 1 m2 e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Calcolarne i lati.


Problema B.
In un torneo di calcio a girone semplice fra le quattro squadre A, B, C, D, la classifica finale (cioè dopo che ciascuna delle squadre ha giocato tutte le tre partite in programma) è la seguente:

 

 

E' possibile ricavarne il risultato (Vittoria, pareggio, sconfitta) per ciascuna delle sei partite (ogni squadra contro tutte le altre?) ed anche il punteggio?

Domanda supplementare: La soluzione è possibile qualunque siano le cifre della tabella, o soltanto in casi particolari? Se lo è in quello indicato sopra, sapreste modificare i dati in modo da ottenere un esempio in cui sia possibile ricavare i risultati ma non i punteggi?; o darne un altro in cui non si possano determinare neppure i risultati?
N.B. Per chi non abbia pratica dei prospetti del genere, diciamo che la prima riga significa: la squadra A ha ottenuto (nelle tre partite) una vittoria, due pareggi, zero sconfitte, ha segnato tre goals subendone zero. I punti per la classifica sono quattro (due per ogni vittoria ed uno per ogni pareggio), ma ciò è un di più che non interessa per il nostro problema.


Problema C.

Dei ragazzi, tirando delle frecce contro un bersaglio circolare di un metro di diametro, ve ne hanno conficcato 125. Dimostrare che tra i punti colpiti dalle frecce ve ne sono certamente due che distano tra loro meno di 10 cm.


Problema D
Supponiamo che in una città ogni abitante abbia un determinato giorno "onomastico", oltre che, naturalmente un "compleanno". Sappiamo però che in quella città non esistono due individui che hanno il medesimo onomastico e il medesimo compleanno. Dimostrare che la città non ha più di 134.000 abitanti.


Problema E
Consideriamo le due successioni:
(C) dei cubi: 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; 1000; ...
(Q) delle 4e pot.: 1; 16; 81; 256; 625; ...

Nel tratto indicato (fino a 1000) si nota che si incontra un termine della (Q) dopo ogni due della (C); che cosa avverrà in seguito? ; varrà sempre questa regola?; oppure si troverebbero, proseguendo indefinitamente:
· termini successivi della (Q) separati da nessuno o da un solo termine della (C)?
· oppure separati da un maggior numero di termini della (C)?
· od anche da un numero di termini della (C) superiore ad ogni limite fissato comunque grande (per esempio più di mille, più di un miliardo)?


Problema F

Consideriamo una corona circolare compresa fra due circonferenze (concentriche) di raggio r (la minore) e R (la maggiore).
Vogliamo dividerla con una circonferenza concentrica e intermedia a quelle (il cui raggio indichiamo con x), in due corone circolari di aree uguali.
Come si esprime x mediante r ed R?
Come si può eseguire la costruzione geometricamente?
Se spostiamo il cerchio intermedio (di raggio x), rispettivamente fino a toccare la circonferenza interna o quella esterna della corona, l'are
a della corona resterà sempre divisa in due parti uguali, oppure cosa avverrà?

Domanda supplementare: Sapreste costruire un esempio in modo che r, R, ed x risultino tutti numeri interi? Suggerimento: dimostrare dapprima che, in tal caso, r e R devono essere entrambi pari o entrambi dispari, ricavarne che si può fare la posizione r = x - y - z ed R = x + y + z con y e z (oltrechè, come già detto, x) tutti interi, con tale posizione si può impostare opportunamente la discussione.




IL MANIFESTO PER LA GARA   

Giovani, una gara per voi!

"Non rinunciate a leggere fino in fondo queste poche righe dopo che vi avremo detto che si tratta di una gara di matematica: vi diremo subito perché ciò non deve spaventare neppure coloro che contro la matematica hanno un fatto personale, coloro che si ritengono o vengono ritenuti negati a capirla. Si tratta spesso di avversione ingiustificata, derivante non da incapacità ma da casuale incomprensione iniziale o da preconcetti non saputi vincere in tempo.
Può darsi che ciascuno di voi possieda delle doti di intuizione e capacità matematica che non sospetta, e lo scopo delle gare di cui vi parliamo è proprio, principalmente, quello di scoprire tali doti soprattutto in quelli che non sono già " bravi in matematica" a scuola. La gara non somiglierà ad un tema scolastico, ma un po' forse ad un "quiz", pur differendo per serietà di struttura e d'intendimenti dai "quiz" dozzinali. Consterà di diverse domande cui tutti potranno rispondere purché sappiano usare una certa capacità di riflessione e di analisi intelligente, anche con un minimo corredo di nozioni scolastiche. Infatti la gara è aperta a tutti i giovani dai 15 ai 20 anni purché non già iscritti all'Università; a parte ciò potranno partecipare studenti di scuole di qualunque tipo o grado od anche che non frequentano alcuna scuola.
Partecipando alla gara non avrete nulla da perdere (ad es., se uno "bravo" non riesce bene non ha motivo di scoraggiarsi: può darsi che le sue qualità di diligenza e sistematicità diano in seguito risultati ottimi anche se al momento non ha saputo attingere a risorse intuitive che hanno funzionato con maggior prontezza in tipi diversi): al contrario, un buon risultato potrebbe aprire a molti di voi delle prospettive insospettate.
Il mondo moderno ha grande bisogno di matematici, e, oltre ai matematici nel senso più stretto del termine, di scienziati tecnici ricercatori dirigenti programmatori dotati di almeno certe facoltà fondalmentalmente matematiche. Chi mostrerà, in tali gare, di possederle, si troverà in posizione di favore per avviarsi a studi del genere, che (a differenza di quelli in molte Facoltà pletoriche che conducono a lauree per un mercato già saturo) offrono larghe e buone prospettive di occupazione, non solo come in passato nei vari gradi dell'insegnamento medio e universitario e nella ricerca scientifica, ma anche in svariati campi professionali, industriali, amministrativi.
Per i giovani che si segnaleranno nelle gare sono previsti dei premi in denaro, in misura intenzionalmente modesta per togliere alle gare ogni significato di "caccia al premio", ma sussisteranno prospettive durature di ulteriori affermazioni e di aiuti anche economici (come eventuale collegamento con borse di studio) secondo iniziative e modalità che verranno esaminate in seguito ed in relazione all'esito delle gare. E' previsto, intanto, che venga organizzata in seguito una gara su base nazionale, alla quale saranno invitati coloro che avranno rivelato, nel corso delle gare nelle diverse località, le attitudini più promettenti. Ma soprattutto si avrà cura di conservare, in una qualche forma che appaia la più opportuna, un contatto e collegamento tra i giovani che si segnaleranno nelle gare e l'Istituto Matematico dell'Università, che potrà seguirli, incoraggiando e possibilmente agevolando coloro che confermeranno le proprie specifiche attitudini ed una inclinazione per le attività che lo valorizzerebbero, ad iscriversi al corso di laurea in Matematica (che, proprio per le menzionate esigenze, è stato recentemente diviso nei tre indirizzi: generale, didattico e applicativo)."


ALTRA DEFINIZIONE DI MATEMATICA

La matematica nel suo insieme consiste nell'organizzazione di una serie di sussidi per l'immaginazione nel processo del ragionamento.
(ALFRED NORTH WHITEHEAD, Universal Algebra, Cambridge, 1898, p. 12)