Introduzione alla Geometria differenziale

Copertina del libro - Matepristem

In questo dossier, composto da tre parti, Lorenzo Roi ci accompagna nel mondo della Geometria differenziale. Avevamo pubblicato la prima puntata qualche mese fa. Ora ecco la seconda. Rimanete sintonizzati su questo canale e a breve arriverà l'ultima...

La Geometria differenziale studia con i metodi dell'Analisi matematica le proprietà locali e globali di curve e superfici. Per far ciò, ricerca innanzitutto quelle caratteristiche che siano indipendenti dalla particolare rappresentazione di una curva o di una superficie per cui, inizialmente, vengono precisati e definiti i concetti intuitivi di direzione e curvatura.  Lo scopo di questo intervento è quello di proporre un percorso didattico che gradualmente conduca il lettore che disponga delle usuali nozioni della Geometria analitica, del calcolo vettoriale, e dei concetti di derivata e di differenziale

  • ad ampliare le proprie conoscenze sulle curve, principalmente sfruttando la loro rappresentazione parametrica nel piano;
  • a definire i concetti di direzione e curvatura di una curva piana;
  • a rappresentare formalmente tali concetti per la classe di curve più regolare.

Il testo, suddiviso in tre parti, discute nella prima la rappresentazione parametrica della retta generalizzandola quindi ad una curva qualsiasi. Introduce quindi il vettore tangente per giungere a definire il versore tangente come una caratteristica locale di una opportuna classe di curve.
Nella seconda parte si chiarisce, sulla base di esempi, il concetto intuitivo di curvatura mentre nella terza lo si formalizza assieme alla definizione di centro di curvatura. Infine, si esemplificano questi concetti applicandoli ad alcune curve.

Tutte le volte che si mostra utile una rappresentazione grafica della curva (e sono molte) o i calcoli da eseguire diventano tediosi, ci appoggiamo alle capacità grafiche e simboliche del software Mathematica: saranno inoltre sfruttate le possibilità di animazione di tale programma con l'obiettivo di rendere lo studio più interattivo e intuitivamente più convincente. Nella versione prelevabile online di questo lavoro (sotto forma di notebook di Mathematica, sul sito dell'autore) è riportato anche il codice completo delle figure e delle deduzioni simboliche con in aggiunta qualche commento esplicativo sul codice adottato.