Campionati Internazionali di Giochi Matematici
Soluzioni dei quesiti delle finali del 11 maggio 2002

 

1) IN MAREMMA

Attualmente, la somma delle età di Roberto, Riccardo e Renato ammonta a 32 anni

2) I RETTANGOLI

Nella figura si vedono 9 rettangoli

3) IL QUADRATO CONIGLIO

4) DOPO I RETTANGOLI E IL QUADRATO: ECCO IL PENTAGONO


5) LA PULCE

6) IL CODICE
Ecco una sequenza di passaggi (possibili) che porta il numero dato al codice che permette di aprire la cassaforte:

499244
249244
224244
224924
222424
222492
222242

Il codice è 222242

7) LA DIAGONALE DI ELENA
Innanzitutto si osserva che l'altezza del rettangolo (espressa da un numero iintero di cm) non può essere inferiore a 3 cm.
Con più precisione si constata che l'altezza è lungo 7 cm, o procedendo per tentativi oppure
(in maniera più complessa), ad esempio, introducendo un sistema di coordinate e considerando i punti P0(0,0) "punto iniziale" della diagonale P1(1,n/6), P2(2,2n/6), P3(3,3n/6), ... P5(5,5n/6), P1(6,n) "punto finale" della diagonale, essendo n l'altezza (incognita) del rettangolo. Si comincia a verificare che n non può essere un numero pari, né multiplo di 3 ecc.
La lunghezza del rettangolo è 7 unità

8) MONETE IN PILE

Sia x il numero delle pile da 9 monete; abbiamo allora 9x+x=N (dove N denota il numero delle monete).
Analogamente, se y indica il numero delle pile da 7 monete, abbiamo 8y=N
N deve essere un multiplo di 10 e di 8. La prima risposta è dunque N=40.
I multipli di 40 non vanno bene. Ad esempio, per N=80, l'equazione 8y=80 porterebbe a y=10 (e la pila rimanente da 10 monete potrebbe fotmarne un'altra da 7).
Carla possiede 40 euro

9) D'ORO E D'ARGENTO

Abbiamo la relazione (con ovvio significato dei simboli):
Pn1+Pn2+...+Pn10+Pa1+...+Pa6+Pd=153
ovvero: 2 (Pn1+...+Pn10)+Pd=121, da cui segue che Pd (il peso dorato) è un numero dispari, non superiore a 11. A questo punto si verifica che l'informazione che i pesi argentati totalizzano 32 grammi in più di quelli neri è soddisfatta solo per Pd=11

Il peso dorato è di 11 grammi

10) L'EURO PANETTIERA

Sia n il numero dei biglietti da 10 euro e (n+1) e (n+2) quelli da 20 e 50 rossi. Abbiamo allora l'equazione:
n+2(n+1)+5(n+2))87
Naturalmente, oltre alla terna (n, n+1, n+2) , bisogna considerare anche quella (n, n+2, n+1), (n, n+1, n-1), (n, n-1, n+1), (n, n-2, n-1), (n, n-2, n-2). Da tutti questi casi e dalle relative equazioni segue l'unica soluzione: 11 biglietti da 50 euro.
Rosetta ha in cassa 11 biglietti da 50 euro

11) I TRE NUMERI

Se indichiamo con x, y, z i tre numeri in questione, abbiamo:
xyz=7(x+y+z) da cui segue subito che un numero (diciamo x=7).
L'uguaglianza yz=7+y+z porta a y=1+8/(z-1).
Otteniamo, a questo punto, numeri primi solo nel caso (3,5,7).

I tre numeri sono 3, 5, 7

12) LE NOCI

La strategia migliore per Rosi è quella di formare 4 muchietti da 5 noci (e intascare 5 noci). A questo punto, al massimo, Angelo fa 3 muchietti da 5 noci. Ne rimangono 10 e Rosi fa due muchietti da 5 (prendendosene 5). Con le rimanenti 5, Angelo deve fare 5 muchietti da 1 e così via.
Alla fine, così, Rosi è sicura di prendere 13 noci.

Il numero di noci è 13

13) LE BIGLIE DI JACOB
Ecco una possibile soluzione:
I numeri dentro ogni cella indicano le biglie contenute nelle diverse scatole

1
2
3
4
5
6
-->
2
2
3
4
5
5
-->
4
0
3
4
5
5
-->
8
0
3
0
5
5
-->
5
0
6
0
5
5
-->
10
0
1
0
5
5
-->
10
0
1
0
0
10
-->
20
0
1
0
0
0

Il prodotto richiesto è 140 (20x7)

14) IL TORNEO DI PATTINAGGIO

E' opportuno disporre i vari numeri (= posti in classifica = valutazione degli arbitri) iin una matrice, in cui la riga i-esima contiene le valutazioni dall'i-esimo concorrente, mentre la colonna j-esima raccoglie le valutazioni date dall'j-esimo arbitro.
Si può pensare di partire da una situazione in cui le prime righe sono così formate:

111 111 111 (totale 9)
222 222 222 (totale 18)
333 333 333 (totale 27)
....................


Lavorando nelle nelle prime 5 righe e cercando di "ottenere" le differenze tra i totali, si perviene al risultato: 24

Al massimo, il totale è 24