Finale nazionale di giochi matematici Milano 15 maggio |
1.LA PARTITA DI BOCCE Anna e Chiara hanno giocato al minimo 11 turni Anna deve aver vinto almeno 7 partite di cui 6 da 2 punti e una da 1 punto. Chiara deve aver vinto almeno 4 partite di cui 3 da 2 punti e una da 1 punto. |
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2. I SORCI VERDI I cinque topolini verdi sono disposti in questo ordine Betty, Desiderio, Enrico, Carla e Angelo. |
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3. L’ORSACCHIOTTO L’orsacchiotto di Luca pesa 460 grammi |
4.QUANTI OTTO! Il calcolo da ricostruire è: 868 = 98 x 8 + 84. |
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5.NUMERI E CIFRE Il codice di Jacob è 186 Ponendo attenzione alla differenza tra numero e cifra e indicando con a-b-c rispettivamente le cifre delle centinaia, delle decine e delle unità, dal testo del problema si ricava: N=100a+10b+c a+b+c=15 10a+b=3c. Da queste, esplicitando la cifra delle centinaia, si ottiene: a= (45-4b)/13. L’unica cifra che si può attribuire alla lettera b e che rende a intera è 8. Da cui si ricava a=1 e c= 6. |
6.IN DIRETTA DA MARTE Il giorno successivo è il 27 febbraio |
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7.IL SEGRETO DELLA SCALA
Ci sono 16 tipi diversi di scale Indichiamo con P la profondità, con H l’altezza e con D la differenza tra la profondità e l’altezza (ricordando la relazione H≤P<2H): P=H+D La somma 2H+P(equivalente a 3H+D) può assumere tre valori: 62 o 63 o 64 Indichiamo allora con a: 3H+D=62 da cui H=(62-3D)/3 b: 3H+D=63 da cui H=(63-3D)/3 c: 3H+D=64 da cui H=(64-3D)/3 Nella tabella vengono riportati i valori di D, H e P che soddisfano le condizioni
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a.D=2H=20P=22 D=5H=19P=24 D=8H=18P=26 D=11H=17P=28 D=14H=16P=30
b.D=0H=21P=21 D=3H=20P=23 D=6H=19P=25 D=9H=18P=27 D=12H=17P=29 D=15H=16P=31
c.D=1H=21P=22 D=4H=20P=24 D=7H=19P=26 D=10H=18P=28 D=13H=17P=30
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8.AMICI PER LA PELLE Gli amici, al massimo, sono 6 Osservando che 2004:18=111,3.. e 2004:19=105,4, vediamo che soddisfano la condizione i numeri interi maggiori di 105,4 e minori di 111,3: 106 – 107 – 108 – 109 – 110 - 111 |
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9.I NUMERI DI NANDO La somma palindroma ottenuta da Nando è 1881 Alcuni esempi dei tre numeri:986+574+321=1881946+153+782=1881. Si possono scambiare tra loro le cifre delle centinaia, quelle delle decine e/o quelle delle unità. La somma è sempre 1881. |
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110.GLI OTTO NUMERI Il problema ammette 6 soluzioni: 36 – 80 – 120 – 224 – 480 – 1008 |
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11.UNA SPARTIZIONE ANGOLOSA
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12.ALTA GASTRONOMIA Il lato del tavolo esagonale è lungo 280 mm. Disegniamo la diagonale dell’esagono passante per i centri di due cerchi opposti ed un asse dell’esagono passante per i centri degli altri cerchi. Indichiamo con C il loro punto di intersezione (centrodella figura), con P il punto della diagonale centro di uno dei cerchi, con Q il punto sull’asse centro di un cerchio, con A il vertice sul prolungamento di CP, con B il punto medio del lato sul prolungamento di CQ e con D il punto di tangenza della circonferenza di centro P con il lato dell’esagono. Il segmento PD raggio del cerchio misura 21/2 cm (indichiamolo con la lettera r), Chiamiamo con x il lato dell’esagono. AC = x CB = (x/2) √3 CQ = CB - r =(x/2) √3 - r AP = (r/√3)x2 CP = CA-AP = x - (r/√3)2 PQ = 2r Applicando il Teorema di Pitagora nel triangolo CPQ si ha: CQ2 + CP2 = PQ2 da cui otteniamo: 21x2 - 28√3rx – 20 r2 = 0. Eliminando la soluzione negativa e sostituendo il valore di r si ottiene : x = 7√3 + 6√7. Applicando la sostituzione suggerita per le due radici, si ottiene x = 28. Il lato dell’esagono è di 28 cm pari a 280 mm. |
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13.IL DADO SULLA SCACCHIERA Il dado può raggiungere 15 caselle Chiamiamo “operatore” l’insieme dei movimenti che, seguendo le regole, riportano il dado allo stesso orientamento iniziale. Nella descrizione dell’operatore si usano le lettere d per indicare una rotazione verso destra e la lettera a per una rotazione avanti Esistono sei operatori:
Combinando opportunamente i sei operatori si possono raggiungere 15 caselle. |
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14. IL MULTIPLO DI QUEST’ANNO Il multiplo richiesto è 42244442244 Per risolvere possiamo predisporre una tabella con cui poi lavorare: 1 x 2004 =2004 2 x 2004 =4008 3 x 2004 =6012 4 x 2004 =8016 5 x 2004 = 10020 6 x 2004 = 12024 7 x 2004 = 14028 8 x 2004 = 16032 9 x 2004 = 18036 Il primo multiplo di 2004 scritto con le sole cifre 2 e 4 è 222444 cioè 111x 2004. Usando la tabella proposta si può seguire il seguente schema: |
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Questo primo multiplo può essere moltiplicato per 1000001 trovando 222444222444 cioè un multiplo di 2004 di 12 cifre; è possibile trovare un multiplo con meno di 12 cifre? Usando la tabella riusciamo a trovare il numero richiesto
2004 x 21080021 = 42244442244 |
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