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Pubblichiamo, come primi allenamenti, i testi e le soluzioni dei giochi proposti alla Finale nazionale del 14 Maggio 2005.
Un'altra "batteria" di allenamenti sarà pubblicata entro la fine del mese di Ottobre.
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| Risposte ai Giochi della Finale nazionale del
14 Maggio 2005
1 I VOTI DI MICHEL
Si può costruire un “albero”, con tutti i possibili casi (le “ramificazioni”).
Ad esempio, se il primo voto è 8, il secondo è necessariamente 4. Per il terzo voto, abbiamo due possibilità (che dovremo poi seguire nel loro sviluppo): può essere un 2 o un 12.
Continuando così, si vede che Michel –questo mese- ha avuto al massimo 6 voti di Matematica.
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2 LA CORSA CAMPESTRE
In un minuto, Carla conta 100 battiti, Milena ne conta 72; sono 90 per Rosi e 110 per Desiderio. È Milena allora ad avere il polso più lento, seguita (nell’ordine) da Rosi, Carla e Desiderio.
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3. L’ETÀ DI LUCA
Indicati con l, c, a le età ,rispettivamente, di Luca, Chiara e Anna abbiamo:
l+c+a=60, a=c-1
da cui ricaviamo: l+2c=61.
Ora teniamo presente che a e c sono numeri interi maggiori di 10 (con c multiplo di 6), mentre l<10. Dando a c i valori compatibili con queste condizioni (c=12, c=18, ecc.), si trova la soluzione c=30, a cui corrisponde l=1: Luca ha 1 anno. |
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4 LE CONCHIGLIE DI JACOB
Si distinguono vari casi: che il valore minimo (53) sia quello di due scatole (per esempio blu e verde) o di una sola (bianca) e 57 sia il numero di conchiglie presenti in due scatole o in una sola. Alla fine, si trova che (al minimo) la scatola con il maggior numero di conchiglie ne ha 60.
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5. IL CACTUS
Il modo più semplice per rispondere alla domanda è forse quello di continuare il disegno del testo, rappresentando il cactus alla fine del sesto anno (prima della fioritura). Si contano in totale 79 germogli. |
6. IL GIRO DELLE DIFFERENZE
1 6 11 5 10 4 9 3 8 2 7
(o nel senso inverso)
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7. I QUATTRO NUMERI MISTERIOSI
Indicati con x,y,z,t rispettivamente i simboli di quadri, cuori, fiori, picche e con a il valore * otteniamo il sistema:
y+4=a
z-4=a
4t=a
x=4a
x+y+z+t=100
che dà a=16. Seguono:
x=64, y=12, z=20, t=4.
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8. DICA 46 !
Otteniamo subito l’equazione xyz=46(x+y+z).
Sappiamo che z può assumere solo i valori pari: 0,2,4,6,8 mentre il numero xyz è un multiplo di 23. Esaminando tutti i casi possibili (da 23*6=138 fino a 23*42=966), si constata che le soluzioni possibili sono 13. |
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9. NUOVE GENERAZIONI
La soluzione ottimale, rispetto alla richiesta avanzata nel testo, si ottiene scegliendo come prima coppia di numeri 0 e 5 (oppure 5 e 5).
In entrambi i casi, il “periodo” è di tre cifre. |
10 IL COMPLEANNO DI MARCO
Le prime due cifre dell’anno di nascita di Marco sono sicuramente 1 e 9; il loro prodotto 9, è il quadrato di 3. Allora, perché il prodotto delle cifre dell’anno sia un quadrato perfetto occorre che tale risulti anche il prodotto delle due ultime cifre.
Considerando i vari casi possibili (1911, 1914, 1922, ecc.). Si trova che le tre soluzioni sono date da 1988, 1994, 1999. Ad esempio, il prodotto delle cifre di 1988 è il quadrato di 24; se Marco è nato nel 1988, adesso ha 17 anni e l’equazione 17+x=24 dà x=7 e individua quindi l’anno 2012.
Ragionando allo stesso modo per il 1994 e il 1999, si trova che le risposte alla domanda del testo sono due: 2012 e 2026. |
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11 FATE 94!
La prima idea che può venire in mente è quella di sommare i primi n numeri interi positivi. Se li sommiamo in numero di 13, otteniamo 91.
Allora una prima soluzione è data da 1,2,3, …, 10,11,12,16. Lavorando su questa, otteniamo le altre due soluzioni: 1,2,3, …, 10,11,13,15 e 1,2,3, …, 10,12,13,14.
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12 I CAMPIONATI DEL MONDO DI CICLISMO
Indicate con v e w le velocità, rispettivamente, di Angelo e di Renato e con k il numero di giri (non necessariamente intero) compiuti da Renato in un minuto abbiamo:
v=120(k+1), w=120k
da cui, sottraendo membro a membro, ricaviamo v-w=120.
L’informazione che Angelo e Renato si incrociano ogni 20 secondi (correndo in senso opposto) porta all’uguaglianza v/3+w/3=360.
Risolvendo il sistema formato dalle due uguaglianze così ottenute, si ottiene v=600: la velocità di Angelo è 600 m/min ovvero di 10 m/s. |
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13 SIAMO NEL 2005
24 046 868 |
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14 VENTAGLIO
Indicati con A, B, C gli angoli acuti dei tre triangoli rettangoli (la cui somma è uguale a 45°) e con a, b e c i cateti maggiori degli stessi triangoli, abbiamo:
tgC=tg(45°-A-B)=1/c ;
tg(A+B)=(a+b)/(ab-1) .
Sviluppando la prima (con le formule di sottrazione della tangente) e sostituendo il valore dato dalla seconda uguaglianza, otteniamo alla fine:
c=(ab-1+a+b)/(ab-1-a-b)
dove a, b, c sono tre numeri interi, maggiori di 1 e diversi tra di loro. Utilizzando queste ultime informazioni nell'uguaglianza che assegna il valore di c, si ottengono per (a, b, c) le due soluzioni (2, 4, 13) e (2, 5 8).
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