Era nato a Napoli il 20 gennaio 1904 da Giuseppe Caccioppoli e Sofia Bakunin (figlia dell'anarchico russo Michele Bakunin); vi è morto, suicida, l'8 maggio 1959.

Si laureò a Napoli nel 1926 e subito dopo divenne assistente di Mauro Picone, di cui fu uno dei primi e più valenti allievi. Libero docente nel '28, nel 1930 divenne, per concorso, professore di Analisi algebrica all'Università di Padova da dove, nel 1934, fu chiamato a Napoli. A Napoli rimase sino alla tragica fine.

E' sicuramente uno dei matematici italiani più importanti della prima metà del Novecento e uno dei più rappresentativi di quella generazione formatasi tra le due guerre mondiali. Profondo, originale, ha lasciato un'ottantina di lavori di grande importanza (anche se talora giudicati poco accurati nei dettagli). La sua produzione scientifica riguarda prevalentemente l'Analisi funzionale (il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli), la teoria geometrica della misura, la teoria dell'integrazione, le equazioni differenziali e integrali.
Aveva una profonda cultura in campo musicale e cinematografico. Era anche schierato politicamente (a sinistra), con una grande dirittura morale nascosta sotto una maschera d'ironia e nonchalance. Negli ultimi anni, dispiaceri familiari e i primi segni di decadenza fisica avevano accentuato certi suoi comportamenti, così che la notizia del suicidio non sorprese troppo quelli che lo conoscevano più da vicino.

Le sue Opere sono state pubblicate in due volumi, a cura dell'Unione matematica italiana, nel 1963. Fu socio dell'Accademia nazionale dei Lincei e dell'Accademia delle Scienze di Napoli.
Di Renato Caccioppoli riportiamo alcune righe di A. Guerraggio, tratte dal volume La matematica italiana tra le due guerre mondiali (ed. Marcos y Marcos, 1998).

Caccioppoli deve la sua popolarità (che lo accompagnava anche in vita) al personaggio, a quel misto di genio e sregolatezza che ne ha fatto il protagonista di libri, di interviste che rievocano lui e la Napoli a cavallo della guerra, e persino di un bel film di Mario Martone. Così viene tramandata la leggenda del "vestivamo alla Caccioppoli" del logoro trench bianco,

sporco, portato in giro per le strade di Napoli con sempre maggior sciatteria, del matematico geniale e insuperabile che si perde nell'alcool, dell'intellettuale colto e raffinato, intransigente e spietato avversario dell'ignoranza e delle banalità, che affida le sue lunghe notti a compagnie non sempre raccomandabili, del borghese illuminato, "comunista" da sempre che si vede abbandonato dalla moglie che gli preferisce l'importante dirigente del partito.

Necrologio: Annali di Matematica, (4) 47 (1959), pp. V-VII (C. Miranda).